Некоммутативное интегрирование уравнения Дирака в римановом пространстве - (II часть)

см. I часть

В.В. Клишевич

Омский государственный университет, кафедра теоретической физики
644077, Омск, пр. Мира, 55-А

Получена 14 апреля 1999 г.

1. Постановка задачи

Статья является продолжением предыдущей статьи. Рассмотрим риманово пространство с линейным элементом (формула (32.8) в монографии А.З. Петрова [1, c.285]):

(1)

здесь - произвольные функции, , .

Пространство (1) допускает четыре вектора Киллинга (см.там же [1]), они принимают следующие значения:

Для построения оператора Дирака и его операторов симметрии применим метод тетрад. Положим , где - постоянные матрицы Дирака (со шляпками) в стандартном представлении, - ортогональная тетрада, которая расщепляет постоянную метрику - матрица Минковского.

Ортогональную тетраду для метрики (1) реализуем в виде:

Оператор Дирака в пространстве (1) имеет вид:

(2)

Киллинговы операторы симметрии

образуют алгебру Ли, обозначим ее символом со следующими коммутационными соотношениями:

Алгебра изоморфна алгебре операторов симметрии первого порядка уравнения Клейна-Фока . Используя необходимые условия существования спинорных полей, полученные в статье [2], можно показать, что пространство (1) в общем случае не допускает ни тензорного поля Яно-Киллинга, ни векторного поля Яно. В самой алгебре отсутствует тройка коммутирующих операторов первого порядка, и провести стандартную процедуру разделения переменных, рассмотренную в [2], не представляется возможным. Само пространство (1) является штеккелевым, тип (2.1).

Мы проведем некоммутативное интегрирование уравнения Дирака в пространстве (1).

2. Интегрирование уравнения Дирака

Легко проверить, что для алгебры симметрии L выполнено условие dimL + indL = 6 теоремы о некоммутативной интегрируемости [3]. Выбор -представления алгебры симметрии L позволяет найти базис решений уравнения Дирака из решения системы дифференциальных уравнений:

	(3)
	(4)

- представление алгебры симметрии зададим дифференциальными операторами:

	(5)
	(6)

Операторы Казимира для алгебры симметрии , (символ - о означает симметризацию - в - представлении имеют вид: . Общее решение системы (5) находится методом характеристик:

(7)

здесь , матрица , спинор зависит только от одной переменной x⁴ и параметров J₁ и J₂. Подставим общее решение (3) в уравнение (6) и домножим это уравнение слева на фактор . Используя формулы разложения для -матриц:

где нужно положить , получим обыкновенное дифференциальное уравнение на неизвестный спинор:

Решив это уравнение, мы получим решение уравнения Дирака в римановом пространстве (1) в виде (3).

3. Заключение

Формула (3) определяет движение свободной частицы со спином 1/2 в искривленном пространстве (1).

Результаты статьи можно использовать для нахождения точных решений уравнения Дирака в пространстве (1).

Литература