Некоммутативное интегрирование уравнения Дирака в римановом пространстве (I часть)

В.В. Клишевич

Омский государственный университет, кафедра теоретической физики
644077, Омск, пр. Мира, 55-А

Получена 14 апреля 1999 г.

1. Предварительные сведения и постановка задачи

Предлагаемая статья является непосредственным продолжением статьи [1], посвященной методам интегрирования уравнения Дирака в римановом пространстве с четырехмерной группой движений. Пространства с группами движений являются наиболее привлекательными для различных физических приложений. Эти пространства богаты симметриями, и в то же время компонентами метрического тензора могут служить произвольные функции, что дает значительную свободу действий при изучении релятивистских волновых уравнений. Данная статья посвящена вопросам интегрирования одного из основных уравнений релятивистской физики - уравнения Дирака. Дадим основные определения, следуя в основном обозначениям статей [1]; [2]. Уравнение Дирака в четырехмерном римановом пространстве запишем в виде:

Здесь P_k=i(С_k+G_k), С_k - оператор ковариантной производной; G_k - спинорная связность, на которую наложено условие [P_k,g_k] = 0, Sp(G_i) = 0. Как показано в работе [3], для спинорной связности можно использовать явную формулу: G_i = -1/4g_k;ig^k. Матрицы Дирака в римановых пространcтвах определяются как произвольное, но фиксированное решение уравнения , где  - единичная матрица; g ^ij - метрический тензор; m - const. Общий вид операторов симметрии для уравнения (1) указан, например, в работе В.Н. Шаповалова [2]:

Здесь
,             ,
,            ,
- полностью антисимметричный тензор (e₁₂₃₄ = 1). Символ ;k означает ковариантную производную по координате x^k относительно метрики, по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Векторное поле x ^k в формуле (2) определяется из уравнения x_i;k + x_k;i = 0 и называется векторным полем Киллинга. Тензорное поле в формуле (3) находится из уравнений: f_ij + f_ji = 0,   f_ij;k = e_ijkl g^l, где g^l - некоторый вектор, и называется тензорным полем Яно-Киллинга. На векторное поле в уравнении (4) имеется формула f_{i; j} = 1/4g_ij f ^k_;k,   f_i = h _;i, f_i = h _;i, здесь h - скаляр, это векторное поле называется полем Яно. Уравнения на эти поля получены в [2]. Для построения операторов (1) - (4) применим метод тетрад. Положим , где - постоянные матрицы Дирака (со шляпками) в стандартном представлении, - ортогональная тетрада, которая расщепляет постоянную метрику , - матрица Минковского. Линейный элемент рассматриваемого риманова пространства имеет вид (формула (32.4) в монографии А.З. Петрова [4,стр.284]):

здесь a_ij = a_ij (x⁴) - произвольные функции, e₄ = ±1, det(g_ij) = a²₁₁a₂₂e₄. Пространство (5) допускает четыре вектора Киллинга (см. там же [4]), они имеют следующий вид: x ⁱ₍₁₎ = (0,1,0,0), x ⁱ₍₂₎ = (0,0,1,0), x ⁱ₍₃₎ = (-1,x³,0,0), x ⁱ₍₄₎ = (-x³, (x³²-x¹²)/2, x¹,0). Ортогональную тетраду для метрики (5) реализуем в виде:

Оператор Дирака (1) в пространстве (5) имеет вид:

Киллинговы операторы симметрии (2) для уравнения Дирака:

образуют алгебру Ли со следующими коммутационными соотношениями:

[X₁,X₂] = 0,   [X₁,X₃] = 0,   [X₁,X₄] = 0,   [X₂,X₃] = X₁,   [X₂,X₄] = X₃,    [X₄,X₃] = X₂.

В дальнейшем эту алгебру будем обозначать символом L. Алгебра L является разрешимой и не содержит тройки коммутирующих операторов первого порядка. Отметим, что она изоморфна алгебре симметрии L уравнения Клейна-Фока . Наша цель состоит в том, чтобы проинтегрировать уравнение Дирака (1) в римановом пространстве (5).

2. Интегрирование уравнения Дирака

Используя необходимые условия спинорных полей, полученные в [5], можно показать, что в общем случае пространство (5) не допускает ни тензорного поля Яно-Киллинга, ни векторного поля Яно. В самой алгебре симметрии L отсутствует тройка коммутирующих операторов, и провести процедуру разделения переменных в рамках стандартного определения, которое рассмотрено в [1], не представляется возможным. Тем не менее выполнено условие dim L + ind L = 6 теоремы о некоммутативной интегрируемости [6]. Выбор l-представления алгебры L позволяет найти базис решений уравнения (1) F_J(x;l) из решения системы дифференциальных уравнений:

l-представление алгебры Ли L реализуем дифференциальными операторами:

Операторы Казимира для алгебры L: K₁=Y₁, K₂=Y₂² + Y₃² - 2Y₁ Y₄ в l-представлении имеют вид: K₁= J₁, K₂=J₁(i-2J₂). Общее решение системы (6) находится методом характеристик:

здесь u = x³-il, u =x¹ - iu, спинор f_J1J₂ = f_J1J₂(x⁴) зависит только от одной переменной x⁴ и параметров J₁ и J₂. Подставим общее решение (9) в уравнение (7) и домножим это уравнение слева на фактор . Используя формулы разложения для -матриц

где нужно положить t = ln(u) / 2, получим обыкновенное дифференциальное уравнение на неизвестный спинор:

Решив это уравнение, мы получим решение уравнения Дирака в виде (9).

3. Интегрирование уравнения Клейна-Фока

Уравнение Клейна-Фока в римановом пространстве (5)

в отличие от уравнения Дирака, можно решить методом разделения переменных без каких-либо ограничений на метрику. Пространство (5) является штеккелевым, тип (2.1). В качестве полного коммутативного набора укажем тройку операторов {Y₁;Y₂;Y₂² + Y₃²-2Y₁Y₄}. Решение уравнения (10) в пространстве (5) представимо в разделенных переменных

здесь H_s(z) - функция Эрмита,
,
функция удовлетворяет уравнению

l,m,n- существенные параметры разделения.

Для полноты изложения приведем решение уравнения (10) методом некоммутативного интегрирования. Мы используем l-представление алгебры L, задаваемое операторами (8). Решение системы (6) имеет вид:

здесь u = x³-il,  v = x¹ - i u. Подставляя это решение в формулу (10), получим обыкновенное дифференциальное уравнение

которое совпадает, при подходящем определении параметров, с уравнением (12).

В заключение отметим, что метрика (5) удовлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна

здесь R_ij - тензор Риччи; R - скалярная кривизна, если функции, входящие в метрику, принимают значения a₁₁=c x^42/3, a₂₂=4 c² x^4-2/3/(9e₄), c - const (при поиске решений для функций a_ij предполагался степенной вид, общая ситуация не рассмотрена). Таким образом, данный случай дает нам пример штеккелева пространства, в котором выполняются уравнения Эйнштейна, однако свободное уравнение Дирака не интегрируется стандартным способом разделения переменных.

4. Заключение

Решение уравнения Дирака (9) определяет движение свободной частицы со спином 1/2 в искривленном пространстве (5). Аналогично формулы (11) или (13) определяют движение скалярной частицы в том же пространстве. Результаты статьи можно использовать для нахождения точных решений уравнения Дирака и Клейна-Фока в пространстве (5).

Литература