О ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЕРИЙ С p - ПЕРЕМЕШИВАНИЕМ

А.Г. Гринь

Омский государственный университет, кафедра математического анализа
644077 Омск, пр. Мира, 55-A

Получена

The sufficient conditions for central limit theorem for -mixing triangular arrays of random variables are obtained. These conditions generalize known results of such type.

1. Введение. Постановка задачи.

Пусть  - последовательность серий случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве, ,  - -алгебры, порожденные семействами и .

Говорят, что удовлетворяет условию полной регулярности (-перемешивания), если

(Здесь и далее если в максимумах, суммах и т.п. не указаны пределы изменения переменной k, то предполагается, что k меняется от 1  до k_n.)

Будем писать в случае, когда сходятся к по распределению, а будет обозначать случайную величину, имеющую нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Пусть Если

Последовательность случайных величин будет интерпретироваться как последовательность серий, у которой .

В дальнейшем будут использоваться также следующие понятия и обозначения.

Если функции f и g связаны соотношением , где с>0 не зависит от аргументов функций f и g, то будем писать . Через 1(A) будем обозначать индикатор множества A.

Для стационарных последовательностей И.А. Ибрагимов в [1] и [2] получил следующие результаты.

Теорема 1. Пусть - стационарная последовательность, удовлетворяющая условию -перемешивания, и пусть выполнено одно из следующих предположений:

Тогда к последовательности применима центральная предельная теорема.

Замечение 1.

Об условиях в результатах И.А. Ибрагимова. Условие исключает единственную вырожденную ситуацию, описанную в [1]; эту стуацию также можно исключить, предположив, например, что (см.[3]).

Условия (1) и (2) являются неулучшаемыми в следующем смысле. Р.Бредли в [4] показал, что существуют стационарные последовательности, удовлетворяющие условию -перемешивания, у которых и для которых не выполняется центральная предельная теорема.

Сказанное в замечании 1 можно сформулировать еще так: условие (2) является "минимальным" предположением о скорости стремления коэффициента к нулю, при котором центральная предельная теорема справедлива при тех же предположениях о распределениях , что и для последовательностей независимых случайных величин. А.Г. Гринь в [5] показал, что это утверждение остается справедливым и для схем серий. Однако, как показывает первый из названных результатов И.А. Ибрагимова, для последовательностей с -перемешиванием центральная предельная теорема может выполняться и при нарушении предположения (2), но, естественно, при дополнительных условиях на распределения . Условия такого типа были получены М.Пелиград в [6]; приведем здесь ее результат в виде теоремы.

Теорема 2. Пусть - стационарная последовательность, удовлетворяющая условию -перемешивания, и пусть - неубывающая функция, удовлетворяющая условию

Тогда если

то к последовательности применима центральная предельная теорема.

Замечание 2.

Условие (4) в теореме 1 является неулучшаемым в следующем смысле. Р.Бредли в [4] показал,что существует r>0 такое, что если функция h(x) удовлетворяет условию

то (при некоторых технических предположениях) можно построить стационарную последовательность удовлетворяющую условию
 -  перемешивания, у которой и к которой не применима центральная предельная теорема.

В настоящей заметке приведенные выше результаты обобщаются на схемы серий.

2. Основные результаты.

Если последовательность серий удовлетворяет условию -перемешивания с то

где g_r(n) определяется соотношением (3), а
. Правое неравенство доказано в [7] с a=6, а левое - в [3] с b=16. В принципе эти оценки можно уточнять, например, для стационарных последовательностей в [6] неравенства (5) доказаны с любыми a и b такими,что 1<a<b. Перенеся приемы, используемые в [6], на схемы серий, можно получить неравенства (5) с любыми

Обозначим

Введем стандартное для предельных теорем в схеме серий условие равномерной предельной малости слагаемых:

Следующая теорема является основным результатом настоящей работы.

Теорема 3.

Пусть -последовательность серий случайных величин, удовлетворяющая условию (UN) и условию -перемешивания с и, следовательно, справедливы оценки (5). Пусть далее Тогда если

где определяется соотношением (6),то к последовательности серий применима центральная предельная теорема.

Замечание 3. Ясно, что условие (7) является аналогом известного условия Линдеберга. Нетрудно вывести, что теорема 2 останется справедливой, если условие (7) заменить на следующее условие "в форме Ляпунова":

Замечание 4. Из элементарных свойств медленно меняющихся функций (см., например, [1]) следует, что при любом и любом Если же выполнено условие (2), то С учетом этого из теоремы 3 легко выводятся результаты И.А. Ибрагимова в теореме 1.

Схема доказательства теоремы 3.

Пусть где

Для того чтобы выполнялось (9), достаточно, чтобы последовательность была равномерно интегрируемой. Для стационарных последовательностей, удовлетворяющих различным условиям перемешивания, этот факт неоднократно передоказывался многими авторами (см.,например, [8]). На схемы серий этот результат переносится без особых сложностей. В свою очередь, равномерная интегрируемость последовательности будет иметь место, если будет доказано, что при некотором

Будем доказывать (10) при Обозначим . Комбинируя приемы,используемые в [1] и [7] при доказательстве оценок для a_n и , можно получить соотношение

Используя соотношения (7) и (8), выводим

Так как c>3b+4, то константу p>2 в соотношении (11) можно подобрать такой, чтобы . Тогда из (11) и (12) вытекает, что т. е. имеет место (10), а вместе с ним - (9). В силу сказанного выше это означает, что теорема 3 доказана.

⁽¹⁾ Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 99-01-01130 и программы интеграции науки и высшей школы, грант 586.

Литература

[1]	Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.
[2]	Ибрагимов И.А. Замечание о центральной предельной теореме для зависимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. 1975. Т.20. 1. С.134-140.
[3]	Утев С.А., Гринь А.Г. Нижние оценки для дисперсий сумм слабозависимых величин // Сибирский математический журнал. 1994. Т.35. 1. С.210-220.
[4]	Bradley R. The central limit questions under - mixing.- Rocky Mountain J. 1987. V.17. 1. P.95 - 114.
[5]	Гринь А.Г. Центральная предельная теорема для схем серий с -перемешиванием. // Математические заметки. 1995. Т.57. В.6. С.842-850.
[6]	Peligrad M. On the central limit theorem for - mixing sequences of random variables.- Annals of Probability, 1987. V.15. 4. P. 1387-1394.
[7]	Утев С.А. Суммы случайных величин с - перемешиванием // Асимптотический анализ распределений случайных процессов. Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние, 1989 (Тр. СОАН СССР, Ин-т математики. Т.13).
[8]	Denker M. Uniform integrability and the central limit teorem for strongly mixing processes.- Dependence in Probability and Statistics (Ser. Progress in Probability and Statistics). Boston -Basel - Stuttgart: Birkhäuser, 1986. Р. 269 - 274.