Вестник ОмГУ | Выпуск | Тематика | Литература |
Вестник Омского университета, 1999, Вып. 1. С. 19-21. © Омский государственный университет, 1999 |
УДК 519.48 |
А.В. Ющенко
Омский государственный университет, кафедра алгебры
644077, Омск, пр. Мира,55-A
Получена 3 ноября 1998 г.
![]() ![]() |
В работе рассматриваются -формы алгебры Ли
,
получаемые расширением диагональной формы одним элементом,
и описываются максимальные диагональные идеалы для некоторого класса
таких форм.
Определение 1. Алгебры Ли
над
называется
-формой
алгебры Ли
, если
и
- конечномерный
-модуль.
Зафиксируем базис
в
такой, что
eh = pn e, fh = - pnf, ef=pd h.
Далее всюду предполагается, что .
Предложение 1. Пусть -форма
порождена элементами
,
e, h, f и
при
или
при n < d. Тогда существуют
элементы e', h', f' такие, что
порождена элементами A', e', h', f', и
идеал в
.
Индукция по индексу подалгебры
.
Если индекс
в
равен единице,
т.е.
то s=0 и утверждение очевидно.
,
,
.
Пусть
и
.
Тогда
,
Eсли d<s, то
- подалгебра меньшего индекса.
Пусть n < d и .
Тогда аналогично получим, что
.
Если n<s то
- подалгебра меньшего индекса.
Следовательно, в дальнейшем можно рассматривать -формы,
определенные следующим образом:
![]() |
(1) |
Лемма 1. Пусть -
-форма алгебры Ли
определенная (1),
.
1) Если ,
и
,
то H-полупростой
.
2) Если ,
и
, то H-не является полупростым.
3) Если ,
,
то H-полупростой.
1)
- полупростой.
Заметим, что
,
,
и
.
E - собственный вектор. E= xe+yh+zf,
.
Получаем систему линейных уравнений
![]() |
(2) |
Она имеет ненулевое решение, следовательно, ее определитель равен нулю.
Вычисляем его: (p2(n-m)b2 - kh2)kh - 2 pn+d-2mac kh=0.
Так как ,
то p2(n-m)b2 - kh2 - 2 pn+d-2mac =0.
Разделим на pn+d-2m, получим
pn-db2 - 2 ac =k2, где kh= p(n+d)/2-mk.
То есть pn-db2 - 2 ac квадрат в
и из условия
, получаем
.
Обратно,.Положим p2tb2-2ac=k2, t=(n-d)/2,
и
,
тогда
![]() |
(3) |
2)
- полупростой. Аналогично п.1) вычисляем определитель системы (2), получаем, что
(pn-db2 - 2 ac)p =k2, где
.
Следовательно,
- противоречие.
3) n<d,
- полупростой. Аналогично п.1) вычисляем определитель системы (2),
получаем, что b2 -2 pn-dac должно быть ненулевым квадратом в
,
но так как n<d и
, это всегда верно.
Пусть J подалгебра в S,
- ее базис. Обозначим через
определитель матрицы перехода от
к
.
Тогда легко проверяется, что
.
Лемма 2 Пусть
-
-форма алгебры Ли
определенная (1) и
- полупростой элемент, E, F -
собственные вектора для H. Тогда
.
Если ,
то возьмем t=(n-d)/2,
в случае
t=(n-d+1)/2.
- собственные вектора для H,
l1, l2 - минимальные, такие что
.
.
Положим
,
,
.
.
Так как
,
то либо
,
либо
.
Рассмотрим случай .
Пусть m2'=-m2, тогда
Если m2'-l1 > 0, то из условия
получим
систему сравнений
Следовательно,
и
,
аналогично доказывается, что
.
Случай
рассматриваюся так же.
Определение 2 Подалгебра J в S
называется диагональной, если существуют полупростой
и E, F - собственные для H, такие, что
1) Из леммы 2 следует, что достаточно рассмотреть случай,
когда полупростой элемент вида
входит в диагональный базис.
Из условия
получаем
.
По лемме 1
,
следовательно,
.
Пусть ,
тогда
и
- собственные вектора H.
Пусть l1>0, тогда из условия
получим систему сравнений
Из второго сравнения , и
если t >0, то
- противоречие.
Следовательно, либо t=0, либо
и l1=l2=0.
Пусть t=0, тогда система сравнений примет вид
.
Перемножая эти сравнения и пользуясь условием 2ac=b2-k2, получим
или
- противоречие.
Таким образом, если
,
то l1=l2=0.
.
Вычисляем
,
получим
.
Так как
,
то
, следовательно, t=0.
Положим теперь .
Тогда из условия
следует, что t=0.
- полупростой элемент, 2ac=b2 -k2,
так как
,
то либо
,
либо
.
Рассмотрим случай .
Тогда
- собственные вектора H. Заметим, что .
Пусть ,
тогда из условия
получим систему сравнений:
Из третьего сравнения ,
значит,
.
Из второго:
,
следовательно,
и
- противоречие. Таким образом, l1 =0, аналогично доказывается l2=0.
.
Cледовательно,
и S диагональная. Случай
разбирается полностью аналогично.
2) Возьмем H полупростой, предположим что
и E,F определены формулами:
![]() |
(4) |
Проверим, что E,H,F - базис S.
,
так как
и
то
,
то есть E,H,F образуют базис S.
В случае
надо воспользоваться формулами:
![]() |
(5) |
Выясним, когда элемент u1e+u2h+u3f принадлежит
идеалу .
xE+yH+zF=u1e+u2h+u3f.
При решении системы получим:
![]() |
(6) |
Предложение 2. Пусть S - недиагональная
- форма алгебры Ли
, определенная (2),
t=(n-d+1)/2.
- максимальный диагональный идеал.
Тогда
и
,
Пусть t =0, тогда из предыдущей теоремы
и леммы 1 получаем, что в S нет диагональных идеалов
вида
.
Пусть теперь
,
тогда
.
Из формул (6), для e=xE+yH+zF, получаем
,
,
.
.
Следовательно,
и
.
То, что
, проверяется аналогично.
Теорема 2. Пусть S - недиагональная -форма
алгебры Ли
, определенная (1),
1) n = d, ,
тогда в S единственный максимальный диагональный идеал
.
2) n > d, ,
тогда в S единственный максимальный диагональный идеал
.
3) n > d, ,
, тогда в S все
максимальные диагональные идеалы имеют вид либо
,
либо
- полупростой, E, F -
собственные для H.
Причем, если
другой полупростой элемент, тогда
.
1) и 2) непосредственно следуют из лемм 1 и 2.
3) Возьмем полупростой элемент ,
рассмотрим соответствующий идеал
.
Из предложения 2 получаем
.
Следовательно,
- максимальный диагональный идеал в S.
Далее, пусть
другой полупростой элемент,
- соответствующий ему идеал. Выясним, когда
.
E'= xE+yH+zF.
Из (6) получаем
аналогично
,
т.е.
.
Те же рассуждения проводим для
.
Предварительно заметим, что
,
,
,
.
H'=xE+yH+zF.
Из формул (6) получим ,
аналогично вычисляем z.
Таким образом,
.
.
Следовательно, ,
симметрично получаем
.
[1] | Джекобсон Н.Алгебры Ли. M.: Мир, 1964. |