Вестник ОмГУ Выпуск Тематика Литература

Вестник Омского университета, 1999, Вып. 1. С. 19-21.
© Омский государственный университет, 1999
УДК 519.48

Zp-ФОРМЫ АЛГЕБРЫ ЛИ

А.В. Ющенко

Омский государственный университет, кафедра алгебры
644077, Омск, пр. Мира,55-A

Получена 3 ноября 1998 г.


-forms of Lie algebra , obtained by extension of diagonal form with single element, are considered, and maximal diagonal ideals for some of such forms are described.

В работе рассматриваются -формы алгебры Ли , получаемые расширением диагональной формы одним элементом, и описываются максимальные диагональные идеалы для некоторого класса таких форм.

Определение 1. Алгебры Ли над называется -формой алгебры Ли , если и - конечномерный -модуль.

Зафиксируем базис в такой, что eh = pn e, fh = - pnf, ef=pd h.

Далее всюду предполагается, что .

Предложение 1. Пусть -форма порождена элементами , e, h, f и при или при n < d. Тогда существуют элементы e', h', f' такие, что порождена элементами A', e', h', f', и идеал в .

Индукция по индексу подалгебры .

Если индекс в равен единице, т.е. то s=0 и утверждение очевидно.
,
,
.
Пусть и . Тогда , Eсли d<s, то - подалгебра меньшего индекса.

Пусть n < d и . Тогда аналогично получим, что . Если n<s то - подалгебра меньшего индекса.

Следовательно, в дальнейшем можно рассматривать -формы, определенные следующим образом:

(1)

Лемма 1. Пусть - -форма алгебры Ли определенная (1), .

1) Если , и , то H-полупростой .

2) Если , и , то H-не является полупростым.

3) Если , , то H-полупростой.

1) - полупростой. Заметим, что , , и . E - собственный вектор. E= xe+yh+zf, . Получаем систему линейных уравнений

(2)

Она имеет ненулевое решение, следовательно, ее определитель равен нулю. Вычисляем его: (p2(n-m)b2 - kh2)kh - 2 pn+d-2mac kh=0. Так как , то p2(n-m)b2 - kh2 - 2 pn+d-2mac =0. Разделим на pn+d-2m, получим pn-db2 - 2 ac =k2, где kh= p(n+d)/2-mk. То есть pn-db2 - 2 ac квадрат в и из условия , получаем .

Обратно,.Положим p2tb2-2ac=k2, t=(n-d)/2, и , тогда

(3)


- cобственные вектора H, EH= kh E, FH=-khF, . l1, l2 такие, что .

2) - полупростой. Аналогично п.1) вычисляем определитель системы (2), получаем, что (pn-db2 - 2 ac)p =k2, где . Следовательно, - противоречие.

3) n<d, - полупростой. Аналогично п.1) вычисляем определитель системы (2), получаем, что b2 -2 pn-dac должно быть ненулевым квадратом в , но так как n<d и , это всегда верно.

Пусть J подалгебра в S, - ее базис. Обозначим через определитель матрицы перехода от к . Тогда легко проверяется, что .

Лемма 2 Пусть - -форма алгебры Ли определенная (1) и - полупростой элемент, E, F - собственные вектора для H. Тогда .

Если , то возьмем t=(n-d)/2, в случае t=(n-d+1)/2.

- собственные вектора для H, l1, l2 - минимальные, такие что . . Положим , , .

. Так как , то либо , либо .

Рассмотрим случай . Пусть m2'=-m2, тогда Если m2'-l1 > 0, то из условия получим систему сравнений


Из последнего сравнения и из имеем . Так как m1+m2' > 0 и m2'> 0, то , получаем противоречие с условием .

Следовательно, и , аналогично доказывается, что .

Случай рассматриваюся так же.

Определение 2 Подалгебра J в S называется диагональной, если существуют полупростой и E, F - собственные для H, такие, что

1) Из леммы 2 следует, что достаточно рассмотреть случай, когда полупростой элемент вида входит в диагональный базис. Из условия получаем . По лемме 1 , следовательно, .

Пусть , тогда и

- собственные вектора H. Пусть l1>0, тогда из условия получим систему сравнений

Из второго сравнения , и если t >0, то - противоречие. Следовательно, либо t=0, либо и l1=l2=0.

Пусть t=0, тогда система сравнений примет вид . Перемножая эти сравнения и пользуясь условием 2ac=b2-k2, получим или - противоречие. Таким образом, если , то l1=l2=0.

. Вычисляем , получим . Так как , то , следовательно, t=0.

Положим теперь . Тогда из условия следует, что t=0. - полупростой элемент, 2ac=b2 -k2, так как , то либо , либо .

Рассмотрим случай . Тогда

- собственные вектора H. Заметим, что .

Пусть , тогда из условия получим систему сравнений:

Из третьего сравнения , значит, . Из второго: , следовательно, и - противоречие. Таким образом, l1 =0, аналогично доказывается l2=0.

. Cледовательно, и S диагональная. Случай разбирается полностью аналогично.

2) Возьмем H полупростой, предположим что и E,F определены формулами:

(4)

Проверим, что E,H,F - базис S.

, так как и то , то есть E,H,F образуют базис S.

В случае надо воспользоваться формулами:

(5)

Выясним, когда элемент u1e+u2h+u3f принадлежит идеалу .

xE+yH+zF=u1e+u2h+u3f.

При решении системы получим:

(6)

Предложение 2. Пусть S - недиагональная - форма алгебры Ли , определенная (2), t=(n-d+1)/2. - максимальный диагональный идеал. Тогда и ,

Пусть t =0, тогда из предыдущей теоремы и леммы 1 получаем, что в S нет диагональных идеалов вида . Пусть теперь , тогда . Из формул (6), для e=xE+yH+zF, получаем , , . . Следовательно, и . То, что , проверяется аналогично.

Теорема 2. Пусть S - недиагональная -форма алгебры Ли , определенная (1),

1) n = d, , тогда в S единственный максимальный диагональный идеал .

2) n > d, , тогда в S единственный максимальный диагональный идеал .

3) n > d, , , тогда в S все максимальные диагональные идеалы имеют вид либо , либо - полупростой, E, F - собственные для H.

Причем, если другой полупростой элемент, тогда .

1) и 2) непосредственно следуют из лемм 1 и 2.
3) Возьмем полупростой элемент , рассмотрим соответствующий идеал . Из предложения 2 получаем . Следовательно, - максимальный диагональный идеал в S.

Далее, пусть другой полупростой элемент, - соответствующий ему идеал. Выясним, когда .

E'= xE+yH+zF. Из (6) получаем аналогично , т.е. . Те же рассуждения проводим для . Предварительно заметим, что , , , .

H'=xE+yH+zF. Из формул (6) получим , аналогично вычисляем z. Таким образом, . .

Следовательно, , симметрично получаем .


Литература

[1] Джекобсон Н.Алгебры Ли. M.: Мир, 1964.