О многообразиях вполне простых полугрупп

О.В. Князев

Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры
644099, Омск, наб. Тухачевского, 14

Получена 2 декабря 1998 г.

Совершенно естественно изучать взаимосвязи умножения Мальцева [1] с решеточными операциями. Например, когда имеют место равенства

(XЪY) °Z = (X °Z)Ъ(Y °Z) (*)
(XЗY) °Z = (X °Z) З (Y) (**),

где X,Y,Z - произвольные подмногообразия фиксированного многообразия алгебраических систем, °- операция умножения Мальцева в выбранном классе; Ъ- операция объединения многообразий в этом же классе?

Так, если речь идет о многообразиях групп, то в [2] показано, что равенства (*) и (**) всегда имеют место. Нетрудно понять, что равенство (**) выполняется и в произвольном многообразии алгебраических систем. Равенство (*) в общей ситуации не всегда верно.

В статье исследуется выполнимость равенства (*) в классе всех многообразий вполне простых полугрупп (теоремы 1, 2 и 3).

Вполне простые полугруппы рассматриваются здесь как алгебры сигнатуры < ·, ^-1 > , где ^-1 есть взятие обратного элемента к данному в максимальной подгруппе, содержащей данный элемент.

По теореме Риса [3] всякая вполне простая полугруппа S изоморфна некоторой регулярной рисовской полугруппе M(A;I,L;P) матричного типа над группой A с сэндвич-матрицей P = (p_li). В дальнейшем вполне простую полугруппу будем отождествлять с некоторой изоморфной ей рисовской полугруппой с нормализованной сэндвич-матрицей. Конгруэнции r на рисовской полугруппе M(A;I,L;P) с нормализованной сэндвич-матрицей соответствуют некоторые отношения эквивалентности на строках и столбцах матрицы P и нормальная подгруппа H группы A (см, например, [4], теорема 1). Договоримся отношения эквивалентности на строках и столбцах матрицы P и подгруппу H группы A, соответствующие конгруэнции r, называть r-эквивалентностями и r-подгруппой соответственно. Понятно, что если r₁ и r₂ - некоторые конгруэнции полугруппы S, то r₁ З r₂-подгруппа есть пересечение r₁-подгруппы и r₂-подгруппы, а r₁ З r₂-эквивалентности есть пересечения соответствующих эквивалентностей. Мы будем использовать конструкцию свободной вполне простой полугруппы счетного ранга в терминах рисовских полугрупп, предложенную В.В. Расиным в [5], а также его описание вполне инвариантных конгруэнций на таких полугруппах ([4], теорема 3).

Ниже используются следующие обозначения: T - тривиальное многообразие; G - многообразие всех групп; CA(PA, LA, RA) - многообразие всех вполне простых полугрупп ( всех прямоугольных групп, всех левых групп, всех правых групп ) с максимальными подгруппами из многообразия групп A. Нам также удобно обозначать произвольные многообразия вполне простых полугрупп, пересекающиеся с G по A, через XA, YA, ZA; вербальную XA-конгруэнцию полугруппы S ( т.е. наименьшую из конгруэнций на S, фактор-алгебры по которым принадлежат XA) - через r(XA,S), операцию умножения Мальцева в классе всех вполне простых полугрупп через - ( заметим (см. [6]), что произведение многообразий вполне простых полугрупп вновь многообразие вполне простых полугрупп); Ъ- операция объединения многообразий в классе CG.

Мы пользуемся многими известными свойствами умножения многообразий групп (см. [2]). Эту возможность дает очевидный факт: операция умножения многообразий групп в классе всех групп совпадает с операцией умножения таких многообразий в классе всех многообразий вполне простых полугрупп.

Лемма 1 ([6], предложение 1). Пусть A,B -произвольные многообразия групп и многообразие XA содержит многообразие PT прямоугольных полугрупп. Тогда

1). XA°RA = LA°RA = RA°LB = XA°LA = CA°B = A°PB ;
2). YB °XA = B °XA;
3). A°RA = RA°B   RA°RB = R(A°B);
4). A°LA = LA°LB = L(A°B).

Пусть S - свободная вполне простая полугруппа счетного ранга, XA, YB - многообразия вполне простых полугрупп. Рассмотрим на компонентах вербальной XA-конгруэнции r(XA,S), являющихся подалгебрами алгебры S, вербальные YB-конгруэнции. Тем самым на полугруппе S определяется частичная эквивалентность, которую обозначим буквой p.

Лемма 2 ([7], теорема 1).Вербальная YB ° XA - конгруэнция свободной вполне простой полугруппы S счетного ранга совпадает с конгруэнцией, порожденной на S отношением p.

Теорема 1. Если многообразие вполне простых полугрупп ZD содержит многообразие PT , то для произвольных многообразий XA и YB вполне простых полугрупп имеет место равенство (XAЪYB)°ZD = (XA°ZD)Ъ(YB°ZD).
Доказательство.  По лемме 1 имеем равенства (XAЪYB)°ZD = (AЪB)°ZD и (XA°ZD)Ъ(YB°ZD) = (A°ZD)Ъ(B°ZD). Проверим, что (AЪB)°ZD = (A°ZD)Ъ(B°ZD). Для этого построим на свободной вполне простой полугруппе S = M(F_S ; N, N; P) счетного ранга (AЪB)°ZD - вербальную конгруэнцию r((AЪB)°ZD,S)) и (A°ZD)Ъ(B°ZD) - вербальную конгруэнцию r((A°ZA)Ъ(B°ZD),S).

Воспользуемся леммой 2.

Пусть H есть r(ZD,S)-подгруппа структурной группы F_S полугруппы S. По условию многообразие вполне простых полугрупп ZD содержит многообразие PT , значит r(ZD,S)-эквивалентности на строках и столбцах матрицы P = (p_li) совпадают с отношениями равенств на них. Классы конгруэнции r(ZD,S), являющиеся подполугруппами полугруппы S , это в точности множества H_ij = H ґ i ґ j , где i, j О N. Понятно, что H_ij есть изоморфные копии подгруппы H. На каждой из H_ij рассмотрим AЪB-вербальную конгруэнцию r(AЪB, H_ij). Тем самым на полугруппе S задается частичное отношение эквивалентности p. Заметим, что конгруэнции r(AЪB, H_ij) соответствует AЪB-вербальная подгруппа AЪB(H_ij) группы H_ij. Подгруппа AЪB(H_ij), как хорошо известно, будет нормальной подгруппой группы (F_S)_ij. (Здесь (F_S)_ij есть изоморфная копия структурной группы F_S полугруппы S, соответствующая H_ij.) Породим на полугруппе S отношением p конгруэнцию. По лемме 2 это и будет (AЪB)°ZD - вербальная конгруэнция r((AЪB)°ZD,S). Очевидно, что этой конгруэнции будет соответствовать нормальная подгруппа AЪB(H) структурной группы F_S и отношения равенств на столбцах и строках матрицы P полугруппы S. Аналогично построению конгруэнции r((AЪB)°ZD,S) строим конгруэнции r(A°ZD,S) и r(B°ZD,S). Причем A°ZD-подгруппой будет нормальная подгруппа A(H) группы F_S, а B°ZD-подгруппой будет нормальная подгруппа B(H) группы F_S ; r(A°ZD,S)-эквивалентности и r(B°ZD,S)- эквивалентности совпадут с отношениями равенств на столбцах и строках матрицы P. Тогда (A°ZD)Ъ(B°ZD) - подгруппа конгруэнции нормальная подгруппа AЪB (H) структурной группы F_S, а (A°ZD)Ъ(B°ZD)-эквивалентности есть отношения равенства.

Итак, мы показали, что r((AЪB)°ZD,S) = r((A°ZD)Ъ(B°ZD),S). Следовательно, (AЪB)°ZD = (A°ZD)Ъ(B°ZD).

Следующая лемма следует из определения левых, правых и прямоугольных групп.

Лемма 3. Пусть A, B, D -произвольные многообразия групп. Тогда

1). LAЪLB = LAЪB = LTЪAЪB = L(AЪB);
2). LAЪRB = PAЪB = PTЪAЪB = P(AЪB);
3). CAЪCB = C(AЪB).

Теорема 2. Если A, B, D -произвольные многообразия групп, то

1). (CAЪCB)°D = (CA°D)Ъ(CB°D) ;
2). Если XA О {A, LA, RA, PA} и YB О {B, LB, RB, PB, то (XAЪYB)°D = (XA°D)Ъ(YB°D).

Первое утверждение теоремы доказывается аналогично доказательству теоремы 1. Следует только учесть, что r(D,S)-эквивалентности D-вербальной конгруэнции r(D),S) будут универсальными отношениями. Второе ут\верждение теоремы следует из лемм 3 и 2.

Теорема 3. Пусть A, B, D -произвольные многообразия групп. Тогда равенство (XAЪYB)°LD = (X°LD)Ъ(YB°LD) имеет место тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1). RT Н XA и RT Н YB ;
2). RT Л = XA и RT Л YB ;
3). RT Н XA и RT Л YB и B Н A;
3`) RT Л XA и RT Н YB и A Н B.
Доказательство. Докажем 3), оставшиеся случаи проверяются похожими рассуждениями. Пусть RT Н XA и RT Л YB . Тогда YB О {B, LB}. Пусть, сначала, YB = B. По лемме 2 (XAЪB)°LD = C(AЪB)°D и (XA°LD)Ъ(B°LD) = (CA°D)ЪL(B°D) = (CA°D)Ъ(B°D). Если B Н A , то C(AЪB)°D = (CA°D)Ъ(B°D) . В противном случае найдется группа H такая, что H П A и H О AЪB. Тогда можно построить полугруппу S , у которой структурной группой будет группа H, а элементы сэндвич-матрицы P порождают структурную группу H. Очевидно, что S О C(AЪB) , а значит S О C(AЪB)°D . Но, с другой стороны, конгруэнции r(D,S) и r(B°D,S) будут универсальнымиотношениями на полугруппе S (так как элементы матрицы P порождаютвсю структурную группу H). Тогда r(CA°D,S)= r(CA,S). Но H П A, следовательно, конгруэнция r(CA,S) не будет отношением равенства на полугруппе S. Поэтому конгруэнция не является отношением равенства на полугруппе S. Значит, S П (CA°D)Ъ(B°D). Итак, если B Л A, то C(AЪB)°D № (CA°D)Ъ(B°D).

Литература