Об одном дополнении к формулам операционного исчисления

И.В. Богачков

Омский государственный технический университет, кафедра радиоэлектроники и техники СВЧ
644050, Омск, пр. Мира, 11

Получена 15 октября 1998 г.

При анализе распространения сигналов в линиях передачи Т-волны на базе математической модели, в которой отрезок линии передачи заменяется цепочным эквивалентом с сосредоточенными параметрами с учетом скин-эффекта в проводниках [1], возникла задача вычисления обратного преобразования Лапласа для дробно-иррациональных изображений вида (1),(2):

,

(1)

,

(2)

где р - оператор Лапласа, a и b - константы.

Формул обращения для данных изображений в литературе [2]-[11] найдено не было, поэтому использовалась формула замены переменных [2].

.

(3)

где f(t) - известное обратное преобразование от F(p).

Для подстановки использованы табличные оригиналы и изображения [8].

;	(4)
.	(5)

После подстановки (4), (5) в (3) необходимо взять несобственные определенные интегралы:

.	(6)
.	(7)

После преобразований получились следующие результаты:

.	(8)
	(9)

Замечание. При поиске аналогов для проверки полученных формул были найдены подобные (6)-(9) интегралы в [11]. Но если (6), (8) после замены переменных полностью совпали с 3.953.4 [11, c.510], то (7),(9) при сравнении с 3.953.3 обнаружили расхождение в знаках. В (9) в экспонентах нет знака "минус", а в 3.953.3 - есть. Проверка подтвердила правильность (9). Если в 3.953.3 положить g=0, то произойдет переход в 3.952.1 []. При этом переход из формулы (9) дает полное совпадение, а переход из 3.953.3 дает очевидную ошибку в знаке. Таким образом, в таблицу определенных интегралов [11, c.510] необходимо внести исправление согласно (9). Полученные формулы являются обращениями преобразования Лапласа: (8) для (1), а (9) для (2) соответственно. При предельных переходах вида a®0 или b®0 формулы переходят в известные, которые есть в таблицах [8], что является дополнительным доказательством правильности (8), (9).

Как в [11], так и в [8], формулы вида (8), (9) оставлены в комплексном виде (видимо, из-за интеграла ошибок). Однако очевидно, что должно найтись преобразование, которое переведет эти формулы в вещественную форму. Данное утверждение следует из таких радиотехнических соображений: преобразованию подвергался вещественный сигнал, проходящий через реальную цепь, а это значит, что выходной сигнал тоже должен быть вещественной величиной.

Несмотря на то, что erfc(х) не интегрируема в элементарных функциях, с помощью разложений [5,9] можно выделить действительную и мнимую части данного интеграла. В частности, в [9] предложено разложение с относительной погрешностью менее 10^-15.

С учетом свойств интегралов такого вида можно записать:

.

(10)

Тогда (8), (9) принимают форму:

,	(11)
.	(12)

Компактность формул (8), (9) и (11), (12) примерно одинакова. Формулы (11), (12) имеют вещественную форму, но (8), (9) дают лучшую сходимость при вычислениях больших значений t.

Следует отметить, что слагаемое, которое в начальный момент времени стремится в бесконечность, во всех радиотехнических линиях передачи находит слагаемые, которые приводят к взаимной компенсации составляющих такого вида, что устраняет неопределенность в момент t=0.

Таким образом, кроме исправления по формуле (9) после замены переменных в таблицу определенных интегралов можно ввести как возможный вариант и (11), (12).

Обращения (8), (9) вместе с вариантами (11), (12) для изображений (1), (2) целесообразно ввести в таблицу обращений преобразования Лапласа в раздел обратного преобразования дробно-иррациональных функций.

Литература