О математике в Омском государственном университете

В.М. Гичев

Омский государственный университет, кафедра математического анализа
644077, Омск, пр. Мира, 55-А

Получена 21 сентября 1998 г.

Российская математическая школа считается одной из сильнейших в мире. Ее репутация во многом была создана поколением математиков, пик творческой активности которых пришелся на предвоенные годы. Многие из них, непосредственно и через учеников, определили направления исследований в ОмГУ, обеспечив тем самым достаточно заметное место Омска в мировой математике. Я постараюсь рассказать об этом настолько подробно, насколько позволяют объем статьи и мое знание предмета. Разумеется, личные пристрастия сказываются в изложении, но я надеюсь, что основные направления исследований в фундаментальной математике и их происхождение хотя бы обозначены. Ссылки приводятся лишь для того, чтобы указать сферу интересов и ни в коем случае не претендуют на полноту. Наклонным шрифтом выделяются фамилии математиков, сведения о которых имеются в [1].

В середине 70-х годов во всех областных центрах Западной Сибири были созданы университеты. Сейчас понятно, что сделано зто было очень своевременно. Мне неизвестно, существовал ли какой-либо правительственный план, знаю лишь, что в Новосибирском университете активным пропагандистом идеи создания университетов в окрестных сибирских городах был проректор по научной работе, член-корреспондент АН СССР по отделению математики М.И. Каргаполов, а для ее реализации многое сделал ректор НГУ, академик АН СССР по отделению ядерной физики С.Т. Беляев. Первоначальный (1974 г.) состав преподавателей математического факультета был таким: И.А. Волынец, А.К. Гуц, В.В. Коврижкин, Г.П. Кукин, В.Д. Пластинина, А.В. Скряго, С.А. Терентьев, Г.Л. Ходак, М.В. Хорошевский. За исключением В.Д. Пластининой и А.В. Скряго, все были выпускниками НГУ, окончившими аспирантуру и защитившими кандидатские диссертации. На факультете было две кафедры, алгебры (заведующий Г.П. Кукин) и геометрии (В.Д. Пластинина). В 1975 году из кафедры алгебры выделилась кафедра математического анализа, а несколько позднее из кафедры геометрии - кафедра прикладной и вычислительной математики. Точности ради нужно отметить, что математического факультета формально тогда не было, на первом году существования университета будущие математический, физический и химический факультеты были объединены в факультет естественных наук. Кафедры геометрии сейчас нет. Некоторое время, существуя формально, она фактически включалась в кафедру алгебры, а окончательная ликвидация произошла в связи с образованием кафедры математического моделирования, в которую влился ее возможный состав. Довольно долгое время структура факультета оставалась неизменной (кафедры алгебры, математического анализа, прикладной и вычислительной математики; план приема - 75 человек). Изменения начались с конца 80-х годов, когда, благодаря усилиям Г.Ш. Фридмана и М.В. Хорошевского, была открыта специальность "Прикладная математика" и увеличился набор. Постепенно возник ряд новых кафедр (в скобках указывается заведующий в момент образования): математического моделирования (А.К. Гуц), логики и логического программирования (В.Н. Ремесленников), методики преподавания математики (В.Н. Сергеев), информационных систем (В.А. Романьков), программного обеспечения ЭВМ (А.Ф. Красников).

Из этого краткого описания видно, что вначале преподавателями были, в основном, выпускники НГУ, примерно одного возраста. Пополнение в первое время во многом происходило также за счет выпускников НГУ. Впоследствии препятствием этому стал конфликт между тогдашним руководством ОмГУ и факультетом, попавший даже на страницы центральной печати (до сих пор помню название публикации в "Комсомольской правде": "Трудно прыгать по облакам"). В 1975 году из Новосибирска прибыли В.Н. Берестовский, Г.А. Носков, В.А. Романьков, в 1976 - В.Я. Беляев, А.Н. Гришков, Г.Ш. Фридман. Из других вузов Омска перешли в ОмГУ В.Н. Сергеев, Г.И. Сечкин, Б.С. Сушников. Некоторое время на факультете работал А.Н. Горбань, сейчас возглавляющий в Красноярском научном центре активно развивающееся направление нейрокомпьютинга. В 1978 году в Омске был открыт Объединенный комплексный отдел СО АН СССР (ОКО СО АН) во главе с В.Н. Ремесленниковым. После ряда преобразований ныне это Институт информационных технологий и прикладной математики. Многие сотрудники отдела, в традициях новосибирской научной школы, по совместительству работали в ОмГУ: А.В. Боровик, Д.Н. Горелов, А.А. Колоколов, Г.А. Носков, В.А. Романьков, В.А. Топчий и другие. Примерно в это же время на факультете начинают работать А.Г. Гринь, А.Д. Медных, Г.А. Нудельман, Р.К. Романовский. В середине 80-х годов в состав факультета входят В.Б. Николаев, А.Г. Мясников и автор этих строк, чуть позже - А.М. Семенов. Кажется, после этого факультет пополнялся лишь за счет своих выпускников.

Многие переехали за границу: А.В. Боровик сейчас живет в Англии, А.Н. Гришков - в Бразилии, А.Г. Мясников - в США, Г.А. Нудельман - в Канаде. Часть их работает по длительному контракту или в командировках, часть постоянно. На год уехал в США и Германию В.Н. Берестовский. В сферу предпринимательства ушел, видимо, лишь Г.Ш. Фридман. А.Д. Медных сейчас профессор НГУ.

Математические исследования на факультете, в основном, отвечали проблематике новосибирских школ. Наиболее представительной и активной является алгебраическая школа. Думаю, она заслуживает отдельной публикации, я же ограничусь самыми общими замечаниями. Основатель новосибирской алгебраической школы А.И. Мальцев был выдающимся математиком, получившим важнейшие результаты в основных разделах алгебры и математической логики. Будучи одним из основателей теории моделей, он уделял особое внимание логическим и алгоритмическим аспектам алгебраических проблем. В теории групп, через М.И. Каргаполова, этот подход получил развитие в Омске благодаря В.Н. Ремесленникову и его ученикам. Значимость подхода в последнее время возросла в связи с развитием компьютерных технологий. А.Г. Мясников, работающий сейчас в университете CUNY (Нью-Йорк), является одним из руководителей программы "Магнус", цель которой - создание общедоступного (через Интернет) пакета компьютерных программ для работы с бесконечными группами, которые заданы образующими и соотношениями между ними; таким образом часто задаются фундаментальные группы многообразий. Более подробная информация (например, список участников, в котором много сотрудников и выпускников ОмГУ, часть которых проживает в Омске, часть - в Нью-Йорке) имеется по адресу  http://zebra.sci.ccny.edu/web . Научная работа В.А. Романькова в последние годы связана с геометрией, как в отношении постановок задач, так и методов их решения (метрические методы используются, например в работе [2], написанной во время трехмесячного пребывания в Англии). Активное использование в последние годы метрических соображений в теории групп инициировано М. Громовым (один из крупнейших математиков мира из ленинградской геометрической школы, эмигрировавший еще в 70-х годах), давшего впечатляющее геометрическое решение проблемы Милнора-Вольфа о группах полиномиального роста. С этим направлением связаны многие работы Г.А. Носкова. Чисто логическое направление сейчас представлено И.В. Ашаевым, продолжающим начатые совместно с А.Г. Мясниковым и В.Я. Беляевым исследования по обобщенной вычислимости (в отличие от классической вычислимости, допускаются конструктивные операции над неконструктивными объектами). В новосибирской алгебраической школе, кроме теории групп и логики, имеется еще одно крупное направление - теория (неассоциативных) колец. Истоки его связаны с фигурой А.И. Ширшова. Самый известный класс неассоциативных колец образуют алгебры Ли, в вещественном случае возникающие как инфинитезимальный объект для групп Ли (именно так и появившиеся). Алгебры, близкие к лиевским, исследовались А.Н. Гришковым в связи с вопросом о существовании объекта (группоида), подобного группе Ли, для которого данная алгебра является инфинитезимальной. Как свидетельствует название книги Л.А. Бокутя и Г.П. Кукина [4], это направление также тяготеет к алгоритмическим вопросам алгебры. О том, что эта черта - общая для омской алгебраической школы, говорит и название прошедшей в Омске в конце августа этого года конференции: "Комбинаторные и вычислительные методы в математике". Конференция была приурочена к юбилею В.Н. Ремесленникова и прошла с большим успехом. При ОмГУ действует диссертационный Совет по алгебре и логике (председатель - В.Н. Ремесленников, секретарь - В.А. Романьков), в котором защитили диссертации многие молодые алгебраисты из сибирских городов и Казахстана. Первая и пока единственная докторская диссертация, защищенная выпускником факультета (А.Н. Зубковым) - по алгебре. Алгебраический семинар, последнее заседание которого ко времени написания статьи имело порядковый номер 556, постоянно работает - это наиболее отчетливый признак существования школы.

Репутацию университета создают достижения его сотрудников и выпускников, причем в наибольшей степени те, что становятся известными вне узкого круга специалистов. В этом смысле, видимо, первым (по времени) значительным математическим результатом, полученным в Омском университете, было решение А.Д. Медных классической проблемы Гурвица о числе неэквивалентных накрытий римановой поверхности, которая оставалась нерешенной 70 лет. Эта проблема, имея топологическое и аналитическое происхождение, связана с теоретико-групповыми задачами комбинаторного типа. Римановы поверхности, встречаясь в самых разнообразных математических дисциплинах, - от теории чисел до уравнений математической физики, - являются одним из немногих общезначимых математических объектов (и не только математических, например, они играют ключевую роль в теории струн, физической теории, в которой элементарные частицы считаются одномерными, а их мировые линии заменяются поверхностями). В Новосибирске эта тематика была связана с теорией квазиконформных отображений, одним из создателей которой был М.А. Лаврентьев, организатор СО АН, человек, сделавший больше, чем кто-либо для развития науки в Сибири. П.П. Белинскому принадлежит фундаментальная теорема устойчивости для пространственных квазиконформных отображений. В 70-е годы весьма активный коллектив молодых математиков образовался вокруг С.Л. Крушкаля. Постепенно интересы этого коллектива сместились в сторону трехмерных многообразий. Существенную его часть cоставили выпускники ОмГУ, выполнявшие дипломные работы под руководством А.Д. Медных и И.А. Волынца. В то время в ОмГУ не было аспирантуры, и способные дипломники направлялись в Новосибирск. Часть их осталась там (А.А. Веснин, Е.Я. Клименко), часть вернулась в Омск (Н.А. Исаченко, Н.С. Зиндинова), а, например, П.А. Макиенко работает в Хабаровске. Сейчас подобный коллектив по той же тематике в Новосибирске сформировался вокруг А.Д. Медных. Он имеет международное признание: так, А.Д. Медных - один из редакторов международного журнала "Transformation groups", издаваемого в США.

Понятие вероятности широко используется в обиходе. Однако для количественной оценки тех или иных возможностей необходимо действовать в рамках некоторой математической модели. В целом для теории вероятностей такую модель в современной ее форме создал, в основном, А.Н. Колмогоров - один крупнейших математиков мира в XX веке, имеющий множество других достижений (создание модели не было началом теории, до А.Н. Колмогорова в теории вероятностей плодотворно работали Б. Паскаль, Я. Бернулли, П. Лаплас, П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов, А.А. Марков). Российская школа теории вероятностей - ведущая в мире. В Омске 3 доктора наук по теории вероятностей: А.Г. Гринь, Б.А. Рогозин, В.А. Топчий. Б.А. Рогозин учился непосредственно у А.Н. Колмогорова, А.Г. Гринь - в аспирантуре МГУ, то есть в ближайшем окружении А.Н. Колмогорова. К сожалению, Б.А. Рогозин, имея учеников - докторов наук, никогда не руководил выполнением дипломных работ в ОмГУ. В Новосибирске представителями школы А.Н. Колмогорова были А.А. Боровков, Б.А. Рогозин, С.В. Нагаев (руководитель В.А.Топчия). В физике, экономике, других областях знания часто встречаются величины, которые складываются из множества других, случайных и не зависящих друг от друга. Они хорошо приближаются случайными величинами с устойчивыми законами распределения, предельными для такого рода сумм. Наиболее известный закон из этого класса - нормальный (гауссовский). Существуют и другие устойчивые законы. А.Г. Гринь [5] получил нетривиальные результаты о таких законах в случае слабо зависимых случайных величин. Тематика В.А. Топчия - ветвящиеся процессы ([6]). В 1995 году в Омске проводился Международный семинар "Предельные теоремы и смежные вопросы", а в уже упоминавшейся конференции "Комбинаторные и вычислительные методы в математике" работала секция теории вероятностей.

При образовании научного центра в Новосибирске использовались ресурсы всей страны. В кадровый состав основной вклад внесли Москва и Ленинград. Те направления, о которых я рассказывал до сих пор, имеют корни в московской математической школе. Однако в целом влияние ленинградской было не меньше, а в геометрии и функциональном анализе оно преобладало.

Основатель ленинградской геометрической школы А.Д. Александров в конце 30-х годов решил несколько задач, поставленных в начале века такими выдающимися математиками, как Г. Вейль и Г. Минковский. Кратко расскажу об одном из результатов А.Д. Александрова того времени. Согласно восходящему к Риману и Гауссу классическому подходу, внутренняя геометрия многообразия задается введением в касательном пространстве к каждой его точке евклидовой структуры (если многообразие вложено в евклидово пространство, то структура индуцируется извне). Это позволяет ввести понятие длины кривой - она равна интегралу от длин векторов, касательных к кривой, при любой ее параметризации. После того как способ вычисления длин кривых указан, можно определить расстояние между точками как точную нижнюю границу длин кривых, их соединяющих. Тем самым на многообразии задается структура метрического пространства. Разумеется, не всякая метрика (под метрикой понимается функция расстояния) может быть получена таким способом. А.Д. Александров охарактеризовал те, что отвечают выпуклым поверхностям в евклидовых пространствах. Можно ставить вопрос об описании в терминах функции расстояния и других геометрических объектов. Для римановых многообразий такой вопрос был предложен Ю.Ф. Борисовым В.Н. Берестовскому в качестве темы дипломной работы. Хотя задача еще не решена (да и вряд ли может быть получен исчерпывающий ответ), постановка оказалась очень плодотворной - В.Н. Берестовскому принадлежит ряд результатов подобного рода (кажется, Нильс Бор говорил, что проблемы решаются аспирантами, руководитель должен правильно сформулировать достойные задачи). Коротко расскажу об одном из этих результатов. Два простых замечания позволяют обобщить описанную выше процедуру построения метрики: во-первых, евклидову длину можно заменить любой нормой (это приводит к понятию финслерового многообразия), а во-вторых, можно рассматривать более узкие классы кривых, например, касательных к какому-либо вполне неголономному распределению подпространств касательных пространств (условие полной неголономности как раз и означает возможность соединения любых двух точек подобной кривой). Последний класс метрик стал систематически изучаться лишь недавно; М. Громов называет их метриками Карно-Каратеодори. Все такие метрики внутренние (это означает, что точная нижняя граница длин кривых, соединяющих две данные точки, равна расстоянию между ними). В.Н. Берестовский показал ([7]), что в случае инвариантных метрик на однородных пространствах, при некоторых естественных ограничениях, верно и обратное: каждая инвариантная внутренняя метрика - риманова или финслерова, быть может, неголономная. Его докторская диссертация, защищенная в 1990 году, была признана одной из лучших в стране и рекомендована к опубликованию. К сожалению, в связи со всем известными обстоятельствами, этого не произошло. В 1997 году В.Н. Берестовский удостоен Почетного отзыва при подведении итогов конкурса на медаль Лобачевского (одним из двоих лауреатов был уже не раз упоминавшийся М. Громов).

Во время пребывания в Новосибирске (с 1964 года по 1985) А.Д. Александров основал школу хроногеометрии. Одной из главных ее целей было исследование значения причинности в моделях физического мира и возможности построения моделей на основе этого понятия. Причинность традиционно моделируется структурами порядка. Поскольку наблюдения показывают высокую степень однородности окружающего мира, таковыми должны быть и модели. Таким образом, речь идет об инвариантных упорядочениях однородных пространств и их автоморфизмах. Физическая специфика накладывает дополнительные ограничения на однородные пространства и упорядочения. Этой тематике посвящен ряд работ А.К. Гуца, учившегося непосредственно у А.Д. Александрова, Н.Л. Шаламовой и многих выпускников ОмГУ (см., например, обзор [10]). Более подробная информация о хроногеометрической и ленинградской геометрической школах имеется на персональной странице А.К. Гуца по адресу http://www.univer.omsk.su/~guts.

Инфинитезимальный объект, соответствующий порядку на многообразии, - поле конусов (в касательном пространстве к каждой точке задан острый выпуклый замкнутый конус, составленный из указывающих в будущее векторов). Если порядок инвариантен, то инвариантно и поле. Поля конусов можно строить независимо от упорядочений, и возникает естественный вопрос: какие из них отвечают упорядочениям? Для двусторонне инвариантных порядков на группах Ли он был в явном виде поставлен московским математиком Э.Б. Винбергом в 1980 году; сейчас имеется ответ для класса односвязных групп Ли ([8]). Левоинвариантные порядки исследованы гораздо меньше, они принципиально отличаются от двусторонне инвариантных наличием неголономных эффектов. В.Н. Берестовскому принадлежит идея введения понятия внутренней антиметрики (аналога как внутренней метрики, так и лоренцева расстояния в четырехмерном пространстве Минковского). Недавно В.Н. Берестовскому и мне удалось доказать, что все левоинвариантные внутренние антиметрики можно построить по той же классической схеме (ее краткое описание приведено выше), что и инвариантные внутренние метрики, исходя из некоторых однородных антиметрик в касательных пространствах. Это открывает возможность применения к изучению упорядочений подходов метрической геометрии. Интересно, что эта тематика оказалась связанной с теорией выпуклых тел - казалось бы, совершенно иной сферой деятельности А.Д. Александрова. Рассказывая об упорядочениях, не могу не заметить, что фундаментальное значение структур порядка я осознал благодаря Г.П. Акилову, одному из моих учителей в Новосибирске, написавшему вместе с Л.В. Канторовичем всемирно известный и выдержавший несколько переизданий учебник по функциональному анализу. Л.В. Канторович, Нобелевский лауреат по экономике и создатель линейного программирования, в математике более известен как автор теории упорядоченных векторных пространств. Он, как и А.Д. Александров, представитель ленинградской математической школы. В 1964-1971 годах Л.В. Канторович работал в Новосибирске, а затем переехал в Москву, но его влияние ощущается до сих пор. Обязан также, и обязанность эта приятная, отдать дань уважения и признательности другому моему учителю, М.Л. Аграновскому, который ввел меня в круг идей московской школы, относящихся к банаховым алгебрам и гармоническому анализу (это идеи И.М. Гельфанда, С.Г. Гиндикина, Е.А. Горина, Г.Е. Шилова). Поля конусов на многообразиях - объект, представляющий интерес не только для физики и теории упорядочений групп, но и для теории оптимального управления (где конусы определяют ограничения), комплексного анализа, гармонического анализа. В теории представлений двусторонне инвариантные поля конусов на классических группах связаны с голоморфными дискретными сериями. Специалистам в этой области известна программа Гельфанда-Гиндикина, важной частью которой является установление такого рода связей. Биинвариантные поля конусов на группах Ли можно сопоставить инвариантным алгебрам функций. Пока неясно, возможно ли это для произвольных однородных пространств; подтверждающий результат получен недавно И.А. Латыповым ([9]). Существует небольшой, но устойчивый коллектив математиков, в основном из России и Германии, интересующихся различными аспектами положительности в теории групп Ли. Не очень часто, но регулярно он собирается на конференциях в Германии (на первой такой конференции в 1993 году было 8 российских математиков, из них 4 из Москвы, 2 из Омска, по одному из Тамбова и Новосибирска). Российский состав также проводил конференции, одна из которых прошла в Омске в 1995 году под названием "Группы в анализе и геометрии". Название хорошо отражает не только ту тематику, о которой я рассказал, но и, например, сферу интересов А.М. Семенова ([11]; М.Л. Аграновский был его научным руководителем в аспирантуре).

В заключение просто перечислю то, о чем я не написал: о прикладной математике; об экономической специализации, финансовой и актуарной математике; о роли вычислительного центра ОмГУ и центра Интернет в развитии факультета; о методике преподавания математики, работе со школьниками, летних школах и олимпиадах; о теории инвариантов, дифференциальных уравнениях, полугруппах операторов; о многих математиках, повлиявших на математические исследования в Омске (например, Э.Б Винберге, Ю.Г. Решетняке, С.Л. Соболеве); о выпускниках ОмГУ (например, С. Горлове, получившем замечательный результат и досрочно защитившем диссертацию). Каждая из этих тем потребовала бы отдельной статьи; быть может, хотя бы часть таких работ будет написана.

Литература