Применение метода композиций в гомологической алгебре

М.А.Шевелин

Омский государственный университет, кафедра алгебры
644077, Омск, пр. Мира, 55-A

Получена 26 ноября 1997 г.

1. Способ строить резольвенты

Пусть k - поле, - конечный алфавит. Обозначим через F свободную ассоциативную алгебру , -свободный правый F-модуль, A=M+F - соответствующее полупрямое произведение. Элементы A - это линейные комбинации слов , где - нуль или единица, а v - слово в алфавите X. Положим и продолжим этот порядок до полного порядка на словах так, чтобы слова меньшей степени были меньше, а слова одинаковой степени были упорядочены лексикографически слева направо. Старшее слово (без коэффициента) в смысле этого порядка - действительно входящее в запись элемента , называется старшим членом a и обозначается . Элементы поля k будем обозначать строчными греческими буквами. Пусть два элемента со старшими коэффициентами и соответственно, причем для некоторых, возможно, пустых слов v,w. Элемент называется редукцией a относительно b. Если , то операцию тоже будем называть редукцией.

Пусть опять элементы со старшими коэффициентами и , ,   (a₁,v,b₂ - непустые слова). Элемент называется композицией a и b относительно v. Обозначение: c=(a,b)_v. Символом будем обозначать подмодуль, порожденный множеством Y, а идеал в F, порожденный множеством Y.

Определение 1. Множество такое, что называется приведенным, если между элементами S невозможны редукции. Приведенное множество S называется замкнутым (относительно композиций), если для любой композиции , элементов множества S, приведенное множество, полученное из при помощи нескольких редукций, совпадает с .

Лемма 1. Пусть и замкнуто условием включения является наличае в слове подслова вида .

Следствие. База алгебры , в условиях леммы 1, состоит из всех слов в алфавите X, не содержащих подслов вида .

Лемма 2. Пусть , и множество замкнуто. Необходимым условием включнения является наличае в слове подслова вида .

Лемма 1 и следствие хорошо известны [1], [5], а лемма 2 "покоординатная" переформулировка cледствия.

Рассмотрим алгебру F', поржденную множеством , гомоморфизм

с ядром I, продолжающий биекцию

и свободный правый F'-модуль . Пусть N' - подмодуль в M', порожденный множеством . Предположим, что и множество замкнуто. (T - подмножество в F, полученное из T' удалением штрихов). Нас будет интересовать множество определяющих соотношений модуля N'. Заметим, что из наших предположений следует, что S замкнуто. Обозначим . Определение 1 показывает, что для любой композиции c=(t_i,s)_w, старший член должен содержать подслово вида . И после выполнения нескольких редукций:

постоянно понижающих старший член, мы должны получить 0. Полученное таким образом соотношение перепишем в виде:

Множество левых частей этих соотношений обозначим буквой . Очевидно, . Заметим,что если , , то имеет меньший старший член, чем и поэтому все элементы множества , относительно которых проводятся последующие редукции, имеют меньшие старшие члены, чем . В частности, это касается элементов из T, относительно которых проводятся редукции.

Лемма 3. - определяющее соотношение модуля

Доказательство. Нам нужно доказать, что . Возьмем элемент , где (a,v - слова в алфавите X, многоточиями обозначены младшие члены). `По лемме 1 содержит подслово для некоторого , а ссылаясь на следствие из леммы 1, мы можем предполагать, что в словах a и v таких подслов нет. Поэтому возможна композиция (t_i,s) относительно подслова a₂ слова a (a=a₁a₂, a₁ и ). В множестве найдется элемент z, соответствующий этой композиции, причем согласно замечанию, сделанному перед леммой 3, разность n-zv₂ (v=a₂v₂, v₂ может быть пустым) имеет меньший старший член, чем n, а в остальном аналогична элементу n. За конечное число шагов мы выразим n в виде правой линейной комбинации элементов с коэффициентами в F. Лемма доказана.

Из леммы 3 следует принадлежащая Левину [3] теорема о том, что конечнопорожденные подмодули свободных F-модулей свободны.

2. Пример

Рассмотрим ассоциативную алгебру с 1 над полем характеристики 0 или больше 3, заданную порождающими и определяюшими соотношениями: , где

Здесь [x,y]=xy-yx.

Элементы алгебры (точнее, их записи в виде многочленов от ) мы будем рассматривать иногда как элементы свободной ассоциативной алгебры , это не должно вызвать недоразумений. Обозначим M₁ свободный правый -модуль с базой , - ядро гомоморфизма k-алгебр такого, что является правым идеалом в , порожденным . Гомоморфизм правых -модулей определенный правилом

имеет ядро K₁. Раскрывая коммутаторы в r₁ - r₄ и заменяя крайние левые буквы в словах на такие же заглавные, мы получим элементы, порождающие модуль K₁:

Обозначим M₂ свободный -модуль с базой , а M₃ - ядро гомоморфизма определенного условиями

Лемма 4.
а) Множество замкнуто (здесь с рассматриваются как элементы свободного правого F - модуля N с базисом ). б) Модуль M₃ порожден элементами

и является свободным с базисои .

Доказательство. Непосредственно проверяется, что множество

приведенное. Возможны лишь четыре композиции между элементами этого множества:
(R'₁,r₂)_b², (R'₁,r₂)_b, (r₁,r₂)_b², (r₁,r₂)_b. Одна из возможных цепочек редукций для (R'₁,r₂)_b²:

Цепочка редукций для (R'₁,r₂)_b:

В случае остальных двух композиций вычисления отличаются только размерами некоторых букв и отсутствием штрихов. Таким образом, а) доказано.

Чтобы доказать б), найдем определяющие соотношения подмодуля K₁, порожденного . По лемме 4 достаточно в предыдущих двух длинных формулах все члены, содержащие одну из букв r, заменить нулями. Это даст S₁ и S₂, если отбросить штрихи.

Наконец, множество приведенное и замкнутое по причине отсутствия каких-нибудь композиций и редукций. Применяя снова лемму 4, получаем, что между S₁ и S₂ никаких соотношений нет. Поэтому M₃ - свободный -модуль. Лемма доказана.

Пусть L будет алгебра Ли над полем K c порождающими a,b,c и определяюшими соотношениями 1 - 4. Эта алгебра бесконечномерна, потому что элементы

Согласно [4], проективной размерностью модуля называется наименьшая длина его проективных резольвент. Поле k можно наделить структурой L-модуля с помощью гомоморфизма . Тогда k становится -модулем. Проективная размерность этого модуля называется когомологической размерностью алгебры Ли L и обозначается cd L.

Теорема 1.

Доказательство. Точная последовательность

(все модули и стрелки определены перед леммой 4 или в ней самой) является свободной резольвентой -модуля k.

В заключение я благодарю Г.П. Кукина, под руководством которого была выполнена эта работа.

Литература