Алгебраические автоморфизмы свободных алгебр

А.В.Фадин

Омский государственный университет, кафедра алгебры
644077, Омск, пр. Мира, 55-A

Получена 24 ноября 1997 г.

1. Введение

Хорошо известна аналогия в строении свободных алгебр следующих многообразий:
1) - многообразие всех алгебр над полем F;
2) - многообразие всех коммутативных алгебр;
3) - многообразие всех антикоммутативных алгебр;
4) - многообразие всех алгебр Ли;
5) - многообразие алгебр с нулевым умножением.
Для свободных алгебр таких многообразий (где - одно из списка 1 - 5) справедлива

Теорема. (*) Любая подалгебра свободной алгебры является свободной алгеброй того же многообразия.

В случае 5 теория многообразия - это просто теория векторных пространств (на которых определено нулевое умножение), и теорема(*) очевидна. Для многообразия она доказана А.Г. Курошем. А для многообразий 2-4 А.И. Ширшовым. В 1993 г. У.У. Умирбаев нашел новые многообразия, где выполнена Теорема(*).
Гомоморфизмы алгебр в случае многообразия - это линейные отображения (эндоморфизмы - любые линейные преобразования). Основная задача, которую мы решаем в нашей работе,- обобщение теории линейных преобразований векторных пространств (конечной размерности). В результате получается теория линейных преобразований свободной алгебры (где - многообразие из списка 1 - 5). При этом аналогом размерности векторного пространства является понятие ранга свободной алгебры . Ранг в данном случае - это мощность множества свободных порождающих алгебры. В работе изучаются свободные алгебры конечного ранга r, их гомоморфизмы и эндоморфизмы.
Чтобы избежать громоздких формулировок, мы все время говорим о свободных алгебрах, в силу теоремы(*) все результаты справедливы для любого многообразия из списка 1-5 и для многообразий, открытых У.У. Умирбаевым.

2. О -цветных алгебрах

Определение 1. Пусть - группоид по умножению, F-произвольное поле. Тогда алгебра A над полем F называется -цветной в том и только том случае, если причем для любых

Определение 2. Пусть - цветная алгебра над полем - ее подалгебра со свойством . Тогда подалгебра B называется однородной (или однородной относительно раскраски).

Определение 3. Пусть -цветные алгебры над одним и тем же полем     -линейное отображение из A в B. Если для любого верно , то говорят, что отображение сохраняет раскраску.

Определение 4. Пусть -цветная алгебра над полем F, порожденная множеством

где и зафиксировано вложение Если для любой -цветной алгебры B над полем F любое отображение (сохраняющее раскраску) продолжается до гомоморфизма (сохраняющего раскраску), то алгебра S называется свободной -цветной алгеброй со свободными -цветными порождающими

Пример -цветной алгебры
1. Пусть A=A[X] - свободная алгебра над полем F с множеством порождающих X (или свободная ассоциативная алгебра, или свободная алгебра Ли, или алгебра многочленов от X). Пусть N - группоид натуральных чисел (по сложению), изоморфный мультипликативному группоиду , где k - фиксированное комплексное число ( не является корнем из 1, т.е. группоид - бесконечный). Тогда где A_n - векторное пространство однородных элементов степени n. В этом случае A является -цветной алгеброй: , где .

2. Пусть -свободная алгебра со свободными порождающими
Тогда возьмем и получим -цветную алгебру.

Определение 5. Пусть L - алгебра над полем -функция , которая имеет областью значений множество целых неотрицательных чисел N^* и обладает следующими свойствами:
1) не определено;
2)
3)
4)
Тогда назовем обобщенной степенью элемента s.

Примером, попадающим под определение обобщенной степени, может служить обычная степень элемента.
Рассмотрим множество пар для всех элементов алгебры A, где - обобщенная степень элемента - обычная степень элемента алгебры. Это множество можно линейно упорядочить таким образом:

тогда и только тогда, когда

Пусть H - подалгебра свободной алгебры A. Построим счетную (или конечную) последовательность таких пар и последовательность подалгебр . Если и H_m уже определены для всех , то пусть будет наименьшей парой, соответствующей элементам из H, не вошедших в H_n-1, а H_n будет подалгеброй, порожденной в H всеми элементами v, для которых .

Лемма 1. Пусть A=A[X] - свободная алгебра над полем F со свободными порождающими обобщенная степень на алгебре A.
- функция, определяющая обычную степень элемента алгебры A. Тогда произвольная подалгебра H<A обладает таким множеством порождающих , что ни один элемент не принадлежит подалгебре, порожденной элементами по модулю слагаемых той же обобщенной степени, что и элемент h, но меньшей обычной степени или меньшей обобщенной степени. Следует заметить, что если алгебра -цветная, а подалгебра -однородная, то построенная конструкция дает множество порождающих V подалгебры H, причем элементы -однородны. То есть для некоторого .

Лемма 2. Всякая подалгебра H свободной алгебры A свободна.

Доказательство этого факта можно найти в [1, 2].

Лемма 3. Пусть - свободные алгебры над одним и тем же полем F с множеством свободных порождающих P и Q соответственно, - гомоморфизм алгебр. Тогда G=G₁ * G₀ (т.е. найдется такое множество свободных порождающих R алгебры G, что , причем - изоморфизм G₁ и .

Теорема 1. (основная теорема о свободных цветных алгебрах).
Пусть L=L[X]- свободная алгебра над полем F с множеством свободных порождающих X. Пусть, кроме того, -цветная алгебра. Тогда L является свободной -цветной алгеброй.

3. Основные результаты

Определение 6. Пусть L - алгебра над полем - ее эндоморфизм. Тогда называется корневым элементом высоты n, если для некоторого выполняется :

Определение 7. Весом корневого элемента , отвечающего корню , назовем число w(a)=n-1, где n - высота элемента a.

Лемма 4. Пусть L - свободная алгебра над полем F, - ее эндоморфизм. Пусть - элемент веса n-1, то есть - элемент веса m-1, то есть
Тогда .

Лемма 5. Пусть L - свободная алгебра конечного ранга над алгебраически замкнутым полем F, - ее алгебраический автоморфизм. Тогда найдется собственный примитивный элемент алгебры L, то есть для некоторого множества свободных порождающих алгебры L .

Лемма 6. (О триангуляции)
Пусть - свободная алгебра конечного ранга над алгебраически замкнутым полем - ее алгебраический автоморфизм. Тогда существует такое множество свободных порождающих алгебры L, что

Теорема 2. Пусть - свободная алгебра конечного ранга над алгебраически замкнутым полем - ее алгебраический автоморфизм. Причем для некоторого множества свободных порождающих    , где не является корнем из единицы. Тогда для некоторого множества свободных порождающих линейная оболочка множества свободных порождающих инвариантна относительно . . Из леммы 6 следует, что
h_i - однородная компонента степени i, относительно y_n, поэтому . Получаем, что (если ) - собственный вектор с собственным значением и в то же время сумма собственных векторов относительно разных собсвенных чисел . Противоречие, то есть . Это значит, что (собственный примитивный элемент) . На самом деле верна следующая теорема.

Теорема 3. Пусть - свободная алгебра конечного ранга над алгебраически замкнутым полем - ее алгебраический эндоморфизм. Тогда L=L₀*L₁, где L₀ - инвариантно относительно действует на L₀ нильпотентно, для некоторого множества свободных порождающих
где L₁ имеет множество свободных порождающих, причем где . Из леммы 3 следует, что L распадается в свободное произведение L₀ * L₁, где . Тогда L₀ инвариантна относительно и действует на L₀ нильпотентно. Профакторизуем L по L₀, тогда можно считать, что индуцирует на фактор-алгебре автоморфизм . Применим лемму 6. Из нее следует, что для некоторого множества свободных порождающих алгебры выполнено:

Сделав обратное отображение, получаем условие теоремы.

Литература

[1]	Ширшов А.И. Подалгебры свободных лиевых алгебр // Избр. тр. М.: Наука, 1984.
[2]	Курош А.Г. Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр // Мат. сб. 1954. Т. 34(76). 1. С. 81-88.
[3]	Михалев А.А. Подалгебры свободных цветных супералгебр Ли // Мат. заметки. 1985. Т. 37. 5. С. 653-659.
[4]	Чирков И.В. О группах автоморфизмов свободных и свободных многоцветных алгебр. М., 1990. Деп. в ВИНИТИ 2098-B90.